東北大2025年院試の熱力学を解いてみました

東北大学の機械系の2025年実施の院試問題は昨年の12月下旬に公開されています。東北大学は例年２題を出題します。

問題１は、断熱膨張するときの気体の状態変化の計算です。最初の設問(1)では準静的過程と断熱過程の用語の説明が求められます。「準静的」など、分かるけど、正確な用語の意味は曖昧なことがあるかもしれません。この際に、可逆、理想気体など、頻出用語の正確な定義を一度復習しておくと良いと思います。設問(2)はファン・デル・ワールスの状態方程式で考慮されている実在気体効果を答える問題ですが、これは理想気体が、気体分子のどんな点を無視した仮想的な気体であるかを理解していれば、その無視した点をファン・デル・ワールスの状態方程式では考慮していることになります。設問(3)はポリトロープ変化時の比内部エネルギー変化と比エンタルピー変化を求める問題です。熱力学第一法則とポリトロープ変化の関係式)だけを用いて計算します。設問(4)は理想気体の断熱膨張の計算です。断熱変化の関係式)の導出は、状態方程式を用いて、断熱の条件で熱力学第一法則の式を変形していくと導けます。熱力学の教科書に記載されていますので、一度、しっかり復習しておきましょう。理想気体の断熱膨張時の仕事は、仕事の定義式を状態１から状態２まで積分すれば得られます。

問題2は、ジュール・トムソン効果の問題です。設問(1)は名称を答える問題です。ジュール・トムソン効果と言えば「逆転温度」がキーワードになります。設問(2)は比エントロピーの全微分式を答える問題です。変数として指定された温度と圧力に関する全微分式になります。設問(3)は、比エンタルピーの微小変化の式を導出する問題です。まずは、比エンタルピーの定義式から出発して、その微小変化式を記述して、熱力学第一法則、および比エントロピーの定義式を用いて、比エンタルピーの微小変化の式を変形していきます。式の変形過程で比エントロピーの微小変化の項が出てきたら、設問(2)で求めた比エントロピーの全微分式を適用してみます。この段階で、式は問題文で示された式と近い式になりますが、同じものではありません。導出してきた式には、比エントロピーの全微分を適用しているので比エントロピーの項が残ります。これは、マクスウェルの熱力学的関係式を用いることで、比体積、圧力、温度の状態量で表せる微係数に置き換えることができます。マクスウェルの熱力学的関係式はマクスウェルの四辺形で覚えておくと良いです。設問(4)は、設問(3)で導出された比エンタルピーの微小変化の式において、等エンタルピー条件を加えると、解答が導けます。最後の設問(5)は、設問(4)で得られた式を用います。設問(4)のは、等エンタルピー状態での圧力変化に対する温度変化を示す式になります。絞り膨張では、絞りにより外部への仕事も外部との熱のやり取りもないと仮定して等エンタルピー流れになります。絞り膨張なので圧力は低下します。が正になるか負になるかで、圧力降下によって温度低下するか温度上昇するか決まります。設問(4)の解答から、が、温度、比体積、比体積の温度による偏微分係数で表せるので、与えられた表１の値を使えば、の符号が分かります。

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